110. Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM так, что угол OBM = 60°. Найдите косинус угла ABM.

Решение:

1. В квадрате ABCD точка O является центром, пересечением диагоналей. Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, \( AO = BO = CO = DO \).

2. \( OM \) — перпендикуляр к плоскости квадрата. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMB \). Угол \( OBM = 60^{\circ} \).

3. В прямоугольном треугольнике \( OMB \) мы знаем, что \( \angle MOB = 90^{\circ} \) и \( \angle OBM = 60^{\circ} \). Следовательно, \( \angle BMO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

4. Рассмотрим треугольник \( ABM \). Нам нужно найти \( \cos(\angle ABM) \).

5. В прямоугольном треугольнике \( OMB \) имеем:

\( \tan(\angle OBM) = \frac{OM}{OB} \)

\( OM = OB \cdot \tan(60^{\circ}) = OB \cdot \sqrt{3} \).

6. Теперь рассмотрим треугольник \( ABO \). Так как \( AO = BO \) и \( \angle AOB = 90^{\circ} \), то \( \triangle ABO \) — равнобедренный прямоугольный треугольник. Углы при основании равны \( \angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ} \).

7. Угол \( ABM \) является частью угла \( OBM \). Нам нужно найти \( \cos(\angle ABM) \).

8. Рассмотрим треугольник \( ABM \). \( OM \) — высота, опущенная из \( O \) на плоскость квадрата. \( OB \) — проекция \( BM \) на плоскость квадрата.

9. В прямоугольном треугольнике \( OMB \):

\( \cos(\angle OBM) = \frac{OB}{BM} \)

\( BM = \frac{OB}{\cos(60^{\circ})} = \frac{OB}{1/2} = 2 \cdot OB \).

10. Теперь рассмотрим треугольник \( ABM \). Мы знаем \( AB \) (сторона квадрата) и \( BM \). Нам нужно найти \( \cos(\angle ABM) \).

11. Пусть сторона квадрата \( AB = a \). Тогда диагональ \( AC = BD = a\sqrt{2} \). \( OB = \frac{1}{2} BD = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

12. \( BM = 2 \cdot OB = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2} \).

13. В треугольнике \( ABM \) по теореме косинусов:

\( AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle ABM) \)

14. Для нахождения \( AM \) рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMA \). \( OA = OB = \frac{a\sqrt{2}}{2} \).

\( AM^2 = OM^2 + OA^2 \)

\( OM = OB \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \).

\( AM^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = \frac{8a^2}{4} = 2a^2 \).

\( AM = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \).

15. Подставляем в теорему косинусов:

\( 2a^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot a \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(\angle ABM) \)

\( 2a^2 = a^2 + 2a^2 - 2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABM) \)

\( 2a^2 = 3a^2 - 2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABM) \)

\( 2a^2\sqrt{2} \cdot \cos(\angle ABM) = 3a^2 - 2a^2 = a^2 \)

\( \cos(\angle ABM) = \frac{a^2}{2a^2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \).

Ответ: Косинус угла ABM равен \( \frac{\sqrt{2}}{4} \).