109. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Высота пирамиды проходит через середину гипотенузы треугольника и равна гипотенузе. Найдите боковые рёбра пирамиды.

Решение:

1. Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

\( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)

\( c = \sqrt{100} = 10 \) см.

2. Высота пирамиды \( H \) равна гипотенузе основания, то есть \( H = 10 \) см.

3. Середина гипотенузы — центр описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус этой окружности равен половине гипотенузы:

\( R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

4. Боковое ребро пирамиды \( L \) — это гипотенуза прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды \( H \) и радиус \( R \) описанной окружности:

\( L^2 = H^2 + R^2 \)

\( L^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125 \)

\( L = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \) см.

Ответ: Боковые рёбра пирамиды равны \( 5\sqrt{5} \) см.