11. Вычислите: \( \frac{(6^2)^3 \cdot 6^{-4}}{6^7} \)

Решение:

Используем свойства степеней:

1. \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
3. \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к выражению:

\[ \frac{(6^2)^3 \cdot 6^{-4}}{6^7} = \frac{6^{2 \cdot 3} \cdot 6^{-4}}{6^7} = \frac{6^6 \cdot 6^{-4}}{6^7} \]

\[ = \frac{6^{6 + (-4)}}{6^7} = \frac{6^{6-4}}{6^7} = \frac{6^2}{6^7} \]

\[ = 6^{2-7} = 6^{-5} \]

Это можно также записать как \( \frac{1}{6^5} \).

Ответ: \( 6^{-5} \) или \( \frac{1}{7776} \).