11. Постройте график функции y = { x² - 4x + 6, если x ≥ 1; 3x, если x < 1 } и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график функции, состоящей из двух частей:

1. Первая часть: \( y = x^2 - 4x + 6 \) при \( x \ge 1 \).
   Это парабола. Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
   Значение \( y \) в вершине: \( y_в = 2^2 - 4 \cdot 2 + 6 = 4 - 8 + 6 = 2 \).
   Вершина параболы находится в точке \( (2; 2) \).
   Начальная точка для этой части графика при \( x = 1 \): \( y = 1^2 - 4 \cdot 1 + 6 = 1 - 4 + 6 = 3 \). Таким образом, начало луча параболы — точка \( (1; 3) \) (точка не включена, так как \( x \ge 1 \), а мы строим именно для \( x=1 \)).
   Ветви параболы направлены вверх.
2. Вторая часть: \( y = 3x \) при \( x < 1 \).
   Это луч прямой, исходящий из начала координат \( (0; 0) \).
   Точка, соответствующая \( x=1 \) (но не включающаяся): \( y = 3 \cdot 1 = 3 \). То есть, если бы мы продолжили луч до \( x=1 \), он бы проходил через точку \( (1; 3) \).

Построение графика:

График состоит из луча параболы, начинающегося в точке \( (1; 3) \) (не включается) и идущего вверх, и луча прямой, идущего из \( (0; 0) \) до точки \( (1; 3) \) (не включается).

Определение значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Она имеет ровно две общие точки с построенным графиком, когда она проходит:

• Через вершину параболы \( y = 2 \) (одна точка будет на параболе, другая — на прямой, так как \( 3x \) для \( x < 1 \) доходит до \( 3 \) и не включает его, а парабола начинается с \( y=3 \) и уходит вверх).
• Ниже вершины параболы, но выше значения \( y \) в точке \( x=1 \) для обеих функций.

На графике видно, что:

• Если \( y = m \) проходит через вершину параболы \( (2; 2) \), то \( m = 2 \). В этом случае одна точка пересечения с параболой и одна с прямой (при \( x<1 \), \( y=3x \) никогда не достигнет \( 2 \) при \( x<1 \), поэтому это одна точка).
• Если \( y = m \) проходит через точку \( (1; 3) \), где