10. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 3,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 3,6 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение:

Дано:

Расстояние до опушки: \( S = 3.5 \) км

Скорость первого пешехода: \( v_1 = 2.7 \) км/ч

Скорость второго пешехода: \( v_2 = 3.6 \) км/ч

Найти:

Расстояние от точки отправления до места встречи \( S_{встречи} \)

Решение:

1. Найдем время, за которое первый пешеход дойдет до опушки: \( t_{1, до} = \frac{S}{v_1} = \frac{3.5}{2.7} \) часов.
2. Найдем время, за которое второй пешеход дойдет до опушки: \( t_{2, до} = \frac{S}{v_2} = \frac{3.5}{3.6} \) часов.
3. Пусть \( t \) — время, прошедшее с начала движения до момента встречи.
4. За время \( t \) первый пешеход пройдет расстояние \( S_1 = v_1 · t = 2.7t \).
5. Второй пешеход за время \( t \) прошел опушку \( S \) и возвращается обратно. Расстояние, которое он прошёл, равно \( S_2 = v_2 · t = 3.6t \).
6. Так как второй пешеход уже прошёл опушку и возвращается, то расстояние, которое он прошёл от точки отправления, равно \( S_{2, отпр} = S_2 - 2S \) если \( S_2 > S \) (они встретились на обратном пути второго пешехода) или \( S_{2, отпр} = S_2 \) (если они встретились на пути второго пешехода к опушке).
7. Они встретятся, когда пройдут одинаковое расстояние от точки отправления.
8. Рассмотрим случай, когда второй пешеход уже прошёл опушку и возвращается. Он встретит первого пешехода, когда сумма расстояний, пройденных ими от опушки в противоположных направлениях, будет равна общему расстоянию между ними.
9. Второй пешеход пройдет \( 3.5 \) км до опушки и \( 3.5 - S_{встречи} \) км обратно. Общее расстояние, которое пройдёт второй пешеход до встречи: \( S_2 = 3.5 + (3.5 - S_{встречи}) = 7 - S_{встречи} \).
10. Первый пешеход пройдет \( S_{встречи} \) км.
11. Приравниваем пройденные вторым пешеходом расстояния: \( v_2 · t = 7 - S_{встречи} \).
12. Приравниваем пройденные первым пешеходом расстояния: \( v_1 · t = S_{встречи} \).
13. Из второго уравнения выразим \( t = \frac{S_{встречи}}{v_1} = \frac{S_{встречи}}{2.7} \).
14. Подставим \( t \) в первое уравнение: \( 3.6 · \frac{S_{встречи}}{2.7} = 7 - S_{встречи} \).
15. \( \frac{3.6}{2.7} S_{встречи} = 7 - S_{встречи} \)
16. \( \frac{12}{9} S_{встречи} = 7 - S_{встречи} \)
17. \( \frac{4}{3} S_{встречи} = 7 - S_{встречи} \)
18. \( \frac{4}{3} S_{встречи} + S_{встречи} = 7 \)
19. \( (\frac{4}{3} + 1) S_{встречи} = 7 \)
20. \( \frac{7}{3} S_{встречи} = 7 \)
21. \( S_{встречи} = \frac{7 \cdot 3}{7} = 3 \) км.

Ответ: 3 км