11. (1 б) В треугольнике АВС известно, что AD — биссектриса, угол С равен 45°, угол CAD равен 40°. Найти угол В.

Решение:

В треугольнике \( ADC \), \( ∠ C = 45° \) и \( ∠ CAD = 40° \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180° \).

Найдём угол \( ADC \):

\( ∠ ADC = 180° - ∠ C - ∠ CAD \)

\( ∠ ADC = 180° - 45° - 40° = 95° \).

Углы \( ADC \) и \( ADB \) — смежные, их сумма равна \( 180° \).

Найдём угол \( ADB \):

\( ∠ ADB = 180° - ∠ ADC = 180° - 95° = 85° \).

Так как \( AD \) — биссектриса, то она делит угол \( A \) на два равных угла: \( ∠ CAD = ∠ DAB = 40° \).

Теперь рассмотрим треугольник \( ADB \). Сумма углов в нём равна \( 180° \).

\( ∠ B + ∠ ADB + ∠ DAB = 180° \)

\( ∠ B + 85° + 40° = 180° \)

\( ∠ B + 125° = 180° \)

\( ∠ B = 180° - 125° = 55° \).

Ответ: 55°