Контрольные задания
Вопрос:

10. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВМ. Найдите АН.

Фото задания: 10. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС=84 и ВС=ВМ. Найдите АН.Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. В треугольнике ВСМ, так как \( BC = BM \) (по условию), он является равнобедренным.
  2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, \( \angle BCM = \angle BМC \).
  3. В треугольнике ВНС: \( \angle BHC = 90^{\circ}\) (ВН — высота). \( \angle BCH = \angle BCM \). \( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle BCM \).
  4. В треугольнике ВСМ, сумма углов равна \( 180^{\circ}\): \( \angle MBC + \angle BCM + \angle BMC = 180^{\circ}\).
  5. Так как \( \angle BCM = \angle BMC \), то \( \angle MBC + 2 \angle BCM = 180^{\circ}\).
  6. Из \( \angle CBH = 90^{\circ} - \angle BCM \), получаем \( \angle BCM = 90^{\circ} - \angle CBH \).
  7. Подставляем в уравнение из пункта 5: \( \angle MBC + 2(90^{\circ} - \angle CBH) = 180^{\circ}\).
  8. \( \angle MBC + 180^{\circ} - 2\angle CBH = 180^{\circ}\).
  9. \( \angle MBC = 2\angle CBH \).
  10. Поскольку \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH \) и \( \angle MBC = \angle ABC - \angle ABM \) (здесь \( \angle ABM \) — часть \( \angle ABC \), который мы обозначили \( \angle MBC \) в пункте 4), то \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH \).
  11. В треугольнике ABH: \( \angle AHB = 90^{\circ}\).
  12. В треугольнике BHC: \( \angle BHC = 90^{\circ}\).
  13. В треугольнике АВС, ВМ — медиана, поэтому \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).
  14. Так как \( BC = BM \), то треугольник BCM равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В данном случае, медиана BM проведена к стороне BC.
  15. В треугольнике ВСМ, \( \angle BMC = \angle BCM \).
  16. Рассмотрим треугольник АВС. Если \( BC = BM \), то угол \( \angle BCM = \angle BMC \).
  17. В треугольнике BHC, \( \angle BCH + \angle CBH = 90^{\circ}\).
  18. В треугольнике ABM, \( \angle AMB \) — внешний угол треугольника BMC. \( \angle AMB = \angle MBC + \angle MCB \).
  19. Из условия \( BC = BM \) следует, что \( \triangle BCM \) равнобедренный, значит \( \angle BCM = \angle BMC \).
  20. В \( \triangle BHC \): \( \angle B = 90^{\circ} - \angle C \).
  21. В \( \triangle ABM \): \( \angle AMB = \angle MBC + \angle MCB \).
  22. Так как \( BM \) — медиана, \( MC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} 84 = 42 \).
  23. В \( \triangle BCM \): \( BC = BM \), \( \angle BCM = \angle BMC \).
  24. Пусть \( \angle BCM = \alpha \). Тогда \( \angle BMC = \alpha \). \( \angle MBC = 180 - 2\alpha \).
  25. В \( \triangle BHC \): \( \angle CBH = 90 - \alpha \).
  26. В \( \triangle ABM \): \( \angle AMB = 180 - \alpha \) (смежный с \( \angle BMC \)).
  27. Сумма углов \( \triangle ABM \): \( \angle BAM + \angle ABM + \angle AMB = 180^{\circ}\).
  28. \( \angle BAM + (180 - 2\alpha - (90 - \alpha)) + (180 - \alpha) = 180^{\circ}\).
  29. \( \angle BAM + 180 - 2\alpha - 90 + \alpha + 180 - \alpha = 180^{\circ}\).
  30. \( \angle BAM + 180^{\circ} = 180^{\circ}\).
  31. \( \angle BAM = 0^{\circ}\). Это невозможно.
  32. Пересмотрим условие \( BC=BM \). В равнобедренном \( \triangle BCM \), \( \angle BCM = \angle BMC \).
  33. Пусть \( \angle BCM = x \). Тогда \( \angle BMC = x \). \( \angle MBC = 180 - 2x \).
  34. В \( \triangle BHC \), \( \angle CBH = 90 - x \).
  35. В \( \triangle ABM \), \( \angle AMB = 180 - x \). \( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC \). \( \angle ABC = \angle ABM + 180 - 2x \).
  36. Также \( \angle ABC = \angle ABH + \angle CBH = \angle ABH + 90 - x \).
  37. \( \angle ABM + 180 - 2x = \angle ABH + 90 - x \).
  38. \( \angle ABM - \angle ABH = x - 90 \).
  39. Сумма углов \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}\).
  40. \( \angle BAC + \angle ABH + 90 - x + x = 180^{\circ}\).
  41. \( \angle BAC + \angle ABH = 90^{\circ}\).
  42. В \( \triangle ABH \): \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ}\).
  43. Из этого следует, что \( \angle BAH = \angle BAC \).
  44. Это означает, что BH является биссектрисой угла BAC, что возможно только если \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = AC \).
  45. Но BM — медиана, значит \( AM = MC = 42 \).
  46. Если \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB = AC \), то \( AB = 84 \).
  47. Если \( AB = AC = 84 \) и \( BC = BM \), и \( BM = 42 \), то \( BC = 42 \).
  48. В \( \triangle ABC \) имеем стороны \( 84, 84, 42 \).
  49. Построим высоту BH.
  50. В \( \triangle BHC \): \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \). \( 42^2 = BH^2 + HC^2 \).
  51. В \( \triangle ABH \): \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \). \( 84^2 = BH^2 + AH^2 \).
  52. \( AC = AH + HC = 84 \).
  53. \( BH^2 = 42^2 - HC^2 = 84^2 - AH^2 \).
  54. \( 42^2 - HC^2 = 84^2 - (84 - HC)^2 \).
  55. \( 1764 - HC^2 = 7056 - (7056 - 168 HC + HC^2) \).
  56. \( 1764 - HC^2 = 7056 - 7056 + 168 HC - HC^2 \).
  57. \( 1764 = 168 HC \).
  58. \( HC = \frac{1764}{168} = 10.5 \).
  59. \( AH = 84 - HC = 84 - 10.5 = 73.5 \).
  60. Проверим \( BC=BM \) и \( BM \) — медиана. \( MC = 42 \). \( HC = 10.5 \).
  61. \( BH^2 = 42^2 - 10.5^2 = 1764 - 110.25 = 1653.75 \).
  62. \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \). \( HM = MC - HC = 42 - 10.5 = 31.5 \).
  63. \( BM^2 = 1653.75 + 31.5^2 = 1653.75 + 992.25 = 2646 \).
  64. \( BM = \sqrt{2646} \approx 51.44 \).
  65. \( BC = 42 \). \( BC \neq BM \).
  66. Значит \( \triangle ABC \) не является равнобедренным с \( AB=AC \).
  67. Вернемся к \( BC=BM \) и \( BM \) — медиана. \( MC = 42 \). \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle BCM = \angle BMC \).
  68. Пусть \( \angle BCM = \gamma \). Тогда \( \angle BMC = \gamma \). \( \angle MBC = 180 - 2\gamma \).
  69. В \( \triangle BHC \), \( \angle CBH = 90 - \gamma \).
  70. Пусть \( \angle BAH = \alpha \). Тогда \( \angle BAC = \alpha \). \( \angle ABC = 180 - 90 - \alpha = 90 - \alpha \). \( \angle ACB = \alpha \). \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AB=BC \).
  71. Если \( AB=BC \), то \( BM \) — медиана к \( AC \). \( AM = MC = 42 \). \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) равны по трем сторонам.
  72. В \( \triangle ABC \), \( AB=BC \). BM — медиана. \( BC = BM \).
  73. Значит \( AB = BM = MC = 42 \).
  74. \( AM = 42 \). \( AC = AM + MC = 42 + 42 = 84 \).
  75. \( AB = 42 \), \( BC = 42 \), \( AC = 84 \).
  76. Это невозможно, так как сумма двух сторон должна быть больше третьей. \( 42+42 = 84 \), что не больше 84.
  77. Рассмотрим случай, когда \( \triangle ABC \) равнобедренный с \( AC=BC \).
  78. Тогда \( AC = 84 \), \( BC = 84 \). \( BM \) — медиана. \( MC = 42 \).
  79. Условие \( BC=BM \) значит \( BM = 84 \).
  80. В \( \triangle BHC \): \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \). \( 84^2 = BH^2 + HC^2 \).
  81. В \( \triangle BHM \): \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \). \( 84^2 = BH^2 + HM^2 \).
  82. Значит \( HC^2 = HM^2 \), \( HC = HM \).
  83. \( M \) — середина \( AC \). \( MC = 42 \). \( HC = HM \). \( HC = MC - HM = 42 - HM \). \( HC = 42 - HC \). \( 2HC = 42 \). \( HC = 21 \).
  84. \( HM = 21 \).
  85. \( H \) лежит между \( M \) и \( C \). \( MC = MH + HC = 21 + 21 = 42 \).
  86. \( AC = 84 \). \( BC = 84 \). \( BM = 84 \).
  87. \( BH^2 = 84^2 - 21^2 = 7056 - 441 = 6615 \).
  88. \( AH = AC - HC = 84 - 21 = 63 \).
  89. Проверим \( AB \) (неизвестно).
  90. В \( \triangle ABH \): \( AB^2 = BH^2 + AH^2 = 6615 + 63^2 = 6615 + 3969 = 10584 \). \( AB = \sqrt{10584} \approx 102.88 \).
  91. Треугольник со сторонами \( 84, 84, 102.88 \).
  92. Это возможно. \( AH = 63 \).

Ответ: 63.