10. В окружности с центром О проведены хорды AB, BC, AC. Угол BAC равен 25°, угол ABC равен x, угол ACB равен y. Дуга EC равна 50°. Найдите x и y.

Решение:

Находим угол y (угол ACB):

Угол ABC (x) и угол ADC (на дуге AC) опираются на дугу AC.

Угол BAC = 25°. Этот вписанный угол опирается на дугу BC. Следовательно, величина дуги BC = 2 * Угол BAC = 2 * 25° = 50°.

Угол EBC = y. Угол EAC = 25°. Угол ABC = x. Угол ACB = y.

Угол AOC — центральный, опирается на дугу AC.

Угол ABC = x. Угол ADC = x.

Угол AOB — центральный, опирается на дугу AB.

Угол ACB = y. Угол ADB = y.

Дуга EC = 50°.

Угол EBC = y. Центральный угол EOC = 50°.

Вписанный угол EBC опирается на дугу EC. Следовательно, Угол EBC = \( \frac{1}{2} \times \text{дуга EC} \) = \( \frac{1}{2} \times 50° \) = 25°.

Таким образом, y = 25°.

Находим угол x (угол ABC):

Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.

Угол BAC + Угол ABC + Угол ACB = 180°

25° + x + 25° = 180°

x + 50° = 180°

x = 180° - 50° = 130°.

Ответ: x = 130°, y = 25°