10) Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 + 8ab + 16b^2}\), при a = 3\(\frac{3}{7}\), b = -\(\frac{1}{7}\).

Решение:

Заметим, что выражение под корнем является полным квадратом суммы:

\[ a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2 \]

Таким образом, исходное выражение можно упростить:

\[ \sqrt{(a + 4b)^2} = |a + 4b| \]

Теперь подставим данные значения \( a = 3\frac{3}{7} \) и \( b = -\frac{1}{7} \). Сначала переведём смешанную дробь в неправильную:

\[ a = 3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21 + 3}{7} = \frac{24}{7} \]

Теперь вычислим \( 4b \):

\[ 4b = 4 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = -\frac{4}{7} \]

Подставим значения \( a \) и \( 4b \) в выражение \( |a + 4b| \):

\[ \left| \frac{24}{7} + \left(-\frac{4}{7}\right) \right| = \left| \frac{24}{7} - \frac{4}{7} \right| = \left| \frac{24 - 4}{7} \right| = \left| \frac{20}{7} \right| \]

Так как \( \frac{20}{7} \) — положительное число, модуль равен самому числу:

\[ \frac{20}{7} \]

Это можно записать как смешанную дробь:

\[ \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7} \]

Ответ: \(\frac{20}{7}\) (или \(2\frac{6}{7}\))