10) Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, а высота призмы равна 6.

Дано:

Прямая призма ABC A₁B₁C₁.

\( \triangle ABC \) — прямоугольный.

Катеты: AB = 3, BC = 4.

Высота призмы: AA₁ = 6.

Найти:

S_бок — площадь боковой поверхности призмы.

Решение:

1. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H \).
2. Найдем периметр основания — треугольника ABC. Для этого сначала найдем гипотенузу AC по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
3. \( AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \).
4. \( AC = \sqrt{25} = 5 \).
5. Периметр основания: \( P_{осн} = AB + BC + AC = 3 + 4 + 5 = 12 \).
6. Высота призмы \( H = AA_1 = 6 \).
7. Вычислим площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 12 \cdot 6 = 72 \).

Ответ: 72.