10. Дано: cos α = -\(\frac{5}{13}\), где \(\frac{\pi}{2}\) < α < \(\pi\). Найдите ctg 2α

Решение:

1. Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), то \( \alpha \) находится во II четверти. В этой четверти \( \sin \alpha > 0 \) и \( \text{ctg } \alpha < 0 \).
2. Найдём \( \sin \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \] Так как \( \sin \alpha > 0 \), то \( \sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \).
3. Найдём \( \text{ctg } \alpha \): \[ \text{ctg } \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \].
4. Используем формулу тангенса двойного угла: \( \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \). Для этого сначала найдём \( \text{tg } \alpha \): \[ \text{tg } \alpha = \frac{1}{\text{ctg } \alpha} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} \].
5. Теперь найдём \( \text{tg } 2\alpha \): \[ \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \cdot (-12/5)}{1 - (-12/5)^2} = \frac{-24/5}{1 - 144/25} = \frac{-24/5}{(25 - 144)/25} = \frac{-24/5}{-119/25} = \frac{24}{5} \cdot \frac{25}{119} = \frac{24 \cdot 5}{119} = \frac{120}{119} \].
6. Наконец, найдём \( \text{ctg } 2\alpha \): \[ \text{ctg } 2\alpha = \frac{1}{\text{tg } 2\alpha} = \frac{1}{120/119} = \frac{119}{120} \].

Ответ: 4) \(\frac{119}{120}\)