1. Вычислите: a) $$\frac{7^{10} \cdot 7^{8}}{7^{15}}$$; б) $$\frac{4^{6} \cdot 16}{84^{4}}$$

Решение:

1. а) Используем свойства степеней: \( \frac{a^m \cdot a^n}{a^p} = a^{m+n-p} \).
   \( \frac{7^{10} \cdot 7^{8}}{7^{15}} = \frac{7^{10+8}}{7^{15}} = \frac{7^{18}}{7^{15}} = 7^{18-15} = 7^3 \)
   \( 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343 \).
2. б) Представим 16 как степень 4: \( 16 = 4^2 \).
   \( \frac{4^{6} \cdot 16}{84^{4}} = \frac{4^{6} \cdot 4^{2}}{84^{4}} = \frac{4^{6+2}}{84^{4}} = \frac{4^{8}}{84^{4}} \).
   \( \frac{4^{8}}{84^{4}} = \frac{(4^2)^{4}}{84^{4}} = \frac{16^{4}}{84^{4}} = \left( \frac{16}{84} \right)^{4} \)
   Сократим дробь \( \frac{16}{84} \) на 4: \( \frac{16}{84} = \frac{4}{21} \).
   \( \left( \frac{4}{21} \right)^{4} = \frac{4^4}{21^4} = \frac{256}{194481} \).

Ответ: а) 343; б) $$\frac{256}{194481}$$.