Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 1) Вычислить: $\frac{15^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Упростим основание первой степени:

    2. \[ 15^{\frac{2}{3}} = (3 \cdot 5)^{\frac{2}{3}} = 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \]

  2. Подставим в исходное выражение:

    3. \[ \frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}} \]

  3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

    4. \[ \frac{(3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{7}{3}}) \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}} \]

  4. Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями в числителе:

    5. \[ \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3 \]

    \[ \frac{3^3 \cdot 5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{1}{3}} \cdot 3^{\frac{1}{3}}} \]

  5. Вычтем показатели степеней с одинаковыми основаниями (числитель минус знаменатель):

    6. \[ 3^{3 - \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}} \]

    \[ 3^{\frac{9}{3} - \frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{8}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} \]

  6. Можно представить результат следующим образом:

    7. \[ 3^2 \cdot 3^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{3}} = 9 \cdot \sqrt[3]{3^2 \cdot 5} = 9 \cdot \sqrt[3]{45} \]

Ответ: $$\(\frac{8}{3}\) \(\cdot\) \(\frac{1}{3}\)