1. Вычислить: (72^{1/2})^2 \(\cdot\) 36^{2/3}.

Решение:

1. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( (72^{1/2})^2 = 72^{1/2 \cdot 2} = 72^1 = 72 \).
2. Разложим число 36 на простые множители: \( 36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 \).
3. Возведём 36 в степень \( \frac{2}{3} \): \( 36^{2/3} = (2^2 \cdot 3^2)^{2/3} = 2^{2 \cdot 2/3} \cdot 3^{2 \cdot 2/3} = 2^{4/3} \cdot 3^{4/3} \).
4. Вычислим произведение: \( 72 \cdot 36^{2/3} = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2^{4/3} \cdot 3^{4/3}) \).
5. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( 2^{3 + 4/3} \cdot 3^{2 + 4/3} = 2^{9/3 + 4/3} \cdot 3^{6/3 + 4/3} = 2^{13/3} \cdot 3^{10/3} \).

Ответ: \( 2^{13/3} \cdot 3^{10/3} \).