8. Решить систему уравнений: \( \begin{cases} 2^y = 200 \cdot 5^x \\ x + y = 1 \end{cases} \)

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 1 - x \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 2^{1-x} = 200 \cdot 5^x \).
3. Разделим обе части на \( 5^x \) (так как \( 5^x \) всегда больше 0): \( \frac{2^{1-x}}{5^x} = 200 \).
4. \( \frac{2 \cdot 2^{-x}}{5^x} = 200 \).
5. \( 2 \cdot \frac{1}{2^x \cdot 5^x} = 200 \).
6. \( 2 \cdot \frac{1}{(2 \cdot 5)^x} = 200 \).
7. \( 2 \cdot \frac{1}{10^x} = 200 \).
8. \( \frac{1}{10^x} = 100 \).
9. \( 10^{-x} = 10^2 \).
10. Приравниваем показатели степени: \( -x = 2 \Rightarrow x = -2 \).
11. Теперь найдем \( y \), подставив \( x = -2 \) во второе уравнение: \( y = 1 - x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \).

Ответ: \( x = -2, y = 3 \).