5. Найти какую-нибудь первообразную функции f(x) = 2x^3 + x^2 + 3, которая принимает положительное значение при х = -1.

Решение:

1. Найдем общую первообразную функции \( f(x) = 2x^3 + x^2 + 3 \).
2. Используем правила интегрирования: \( F(x) = \int (2x^3 + x^2 + 3) dx = 2 \int x^3 dx + \int x^2 dx + \int 3 dx \)
3. \( F(x) = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + 3x + C = \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{3} x^3 + 3x + C \), где \( C \) — произвольная постоянная.
4. Теперь найдем значение \( F(-1) \): \( F(-1) = \frac{1}{2} (-1)^4 + \frac{1}{3} (-1)^3 + 3(-1) + C = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 3 + C = \frac{3 - 2 - 18}{6} + C = -\frac{17}{6} + C \).
5. Нам нужно, чтобы \( F(-1) > 0 \).
6. \( -\frac{17}{6} + C > 0 \Rightarrow C > \frac{17}{6} \).
7. Выберем любое значение \( C \), удовлетворяющее этому условию. Например, \( C = 3 \) (так как \( 3 = \frac{18}{6} > \frac{17}{6} \)).
8. Тогда одна из первообразных будет: \( F(x) = \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{3} x^3 + 3x + 3 \).

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2} x^4 + \frac{1}{3} x^3 + 3x + 3 \).