1 вариант. №2. В треугольник ДАВС вписана окружность. 1) ∠ABC = 70°, ∠ACB = 56°. Найдите ∠COB, ∠AOB, ∠AOC. 2) AM = 4 см, BK = 5 см, CH = 7 см. Найдите P ∆ABC.

Решение:

1. Нахождение углов:

1. Сначала найдём угол ∠BAC: \( \angle BAC = 180° - (\angle ABC + \angle ACB) = 180° - (70° + 56°) = 180° - 126° = 54° \).
2. Точка О является центром вписанной окружности, значит, она лежит на биссектрисах углов треугольника.
3. Рассмотрим треугольник ∆AOB. Углы \( \angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 54° = 27° \) и \( \angle OBA = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 70° = 35° \).
4. Тогда \( \angle AOB = 180° - (\angle OAB + \angle OBA) = 180° - (27° + 35°) = 180° - 62° = 118° \).
5. Аналогично найдём \( \angle AOC \): \( \angle OAC = \frac{1}{2} \angle BAC = 27° \) и \( \angle OCA = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 56° = 28° \).
6. Тогда \( \angle AOC = 180° - (\angle OAC + \angle OCA) = 180° - (27° + 28°) = 180° - 55° = 125° \).
7. Найдём \( \angle COB \): \( \angle OCB = \frac{1}{2} \angle ACB = 28° \) и \( \angle OBC = \frac{1}{2} \angle ABC = 35° \).
8. Тогда \( \angle COB = 180° - (\angle OCB + \angle OBC) = 180° - (28° + 35°) = 180° - 63° = 117° \).

2. Нахождение периметра:

AM, BK, CH — отрезки, соединяющие вершины с точками касания вписанной окружности. По свойству касательных, проведённых из одной точки, отрезки касательных равны:

• \( AM = AK = 4 \) см
• \( BK = BI = 5 \) см
• \( CH = CI = 7 \) см

Периметр треугольника — это сумма длин его сторон:

\( P_{∆ABC} = AB + BC + AC \)

\( AB = AK + KB = 4 + 5 = 9 \) см

\( BC = BI + IC = 5 + 7 = 12 \) см

\( AC = AM + MC = 4 + 7 = 11 \) см

\( P_{∆ABC} = 9 + 12 + 11 = 32 \) см

Ответ: ∠COB = 117°, ∠AOB = 118°, ∠AOC = 125°; P ∆ABC = 32 см.