1. Тип 17 № 323537 Диагональ прямоугольника образует угол 51° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть дан прямоугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть угол между диагональю AC и стороной AB равен 51°, то есть \( \angle BAC = 51^{\circ} \).

В треугольнике ABC \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ} \).

Диагонали равны: \( AC = BD \). Точка пересечения делит их пополам: \( AO = OC = BO = OD \).

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Углы при основании равны: \( \angle OAB = \angle OBA = 51^{\circ} \).

Угол между диагоналями \( \angle AOB \) равен \( 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \).

Вертикальный угол \( \angle COD = \angle AOB = 78^{\circ} \).

Углы \( \angle BOC \) и \( \angle AOD \) смежные с \( \angle AOB \) и \( \angle COD \). Их величина равна \( 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

Острый угол между диагоналями равен 78°.

Ответ: 78