1. Тип 17 № 193 Найдите угол ADC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Обозначим углы при основании AD как \(\alpha\), а углы при основании BC как \(\beta\). Сумма углов трапеции равна 360°, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

В трапеции ABCD, \(\angle DAB = \angle CBA = \alpha\) и \(\angle ADC = \angle BCD = \beta\).

Диагональ AC образует с основанием BC угол \(\angle ACB = 30°\) и с боковой стороной AB угол \(\angle BAC = 50°\).

Так как ABCD — трапеция, то BC || AD. Следовательно, \(\angle CAD = \angle ACB = 30°\) как накрест лежащие углы.

Угол при основании \(\angle DAB = \angle BAC + \angle CAD = 50° + 30° = 80°\).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании AD равны.

\(\angle ADC = \angle DAB = 80°\).

Ответ: 80°.