1. Расчет объема прямоугольного параллелепипеда: 1) Найдите длину нижнего ребра прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его объем равен 560 кубическим см, а площадь одной из его боковых граней равна 80 квадратным см.

Пусть нижнее ребро равно $$a$$, а высота $$h$$. Площадь боковой грани $$S = a \times h = 80$$ см$$^2$$. Объем $$V = a \times h \times b = 560$$ см$$^3$$. Так как $$a \times h = 80$$, то $$80 \times b = 560$$, откуда $$b = 560 / 80 = 7$$ см. Если боковая грань имеет размеры $$a$$ и $$h$$, то $$a$$ может быть 10 см (тогда $$h=8$$ см) или $$a$$ может быть 8 см (тогда $$h=10$$ см). Если боковая грань имеет размеры $$b$$ и $$h$$, то $$b=7$$ см, $$h=80/7$$ см, $$a=8$$ см. Если боковая грань имеет размеры $$a$$ и $$b$$, то $$a \times b = 80$$. $$V = a \times b \times h = 80h = 560$$, $$h=7$$ см. Тогда $$a=80/b$$. $$a$$ и $$b$$ в соотношении 3:4. Пусть $$a=3x, b=4x$$. $$3x \times 4x = 80$$, $$12x^2 = 80$$, $$x^2 = 80/12 = 20/3$$. $$x = \sqrt{20/3}$$. $$a = 3\sqrt{20/3} = \sqrt{9 \times 20/3} = \sqrt{60}$$. $$b = 4\sqrt{20/3} = \sqrt{16 \times 20/3} = \sqrt{320/3}$$.

Если площадь боковой грани $$a \times h = 80$$, а $$V = a \times b \times h = 560$$, то $$80b = 560$$, $$b=7$$ см. Если площадь боковой грани $$b \times h = 80$$, а $$V = a \times b \times h = 560$$, то $$a \times 80 = 560$$, $$a=7$$ см. Если площадь боковой грани $$a \times b = 80$$, а $$V = a \times b \times h = 560$$, то $$80h = 560$$, $$h=7$$ см.

В первом случае, если $$a \times h = 80$$, то $$b=7$$. Если $$a=10$$, $$h=8$$. Нижнее ребро $$a=10$$ см.