1.161. Вычислите:

Решение:

а) \(\frac{2^{-2} \cdot 3^4 \cdot 6^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^3 \cdot 6^{-4}}\)

Представим \(6\) как \(2 \cdot 3\):

\[ \frac{2^{-2} \cdot 3^4 \cdot (2 \cdot 3)^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^3 \cdot (2 \cdot 3)^{-4}} = \frac{2^{-2} \cdot 3^4 \cdot 2^{-5} \cdot 3^{-5}}{2^{-4} \cdot 3^3 \cdot 2^{-4} \cdot 3^{-4}} \]

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

\[ \frac{2^{-2+(-5)} \cdot 3^{4+(-5)}}{2^{-4+(-4)} \cdot 3^{3+(-4)}} = \frac{2^{-7} \cdot 3^{-1}}{2^{-8} \cdot 3^{-1}} \]

Сократим \(3^{-1}\):

\[ \frac{2^{-7}}{2^{-8}} \]

Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\[ 2^{-7 - (-8)} = 2^{-7+8} = 2^1 = 2 \]

Ответ: 2.

б) \(\frac{7,1 \cdot 10^3 \cdot 3 \cdot 10^{-7}}{10^{-6}}\)

Сначала умножим числа в числителе:

\(7,1 \cdot 3 = 21,3\)

Теперь сложим степени десятки:

\(10^3 \cdot 10^{-7} = 10^{3+(-7)} = 10^{-4}\)

Числитель равен \(21,3 \cdot 10^{-4}\).

Теперь разделим на знаменатель:

\[ \frac{21,3 \cdot 10^{-4}}{10^{-6}} \]

Используем свойство \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

\[ 21,3 \cdot 10^{-4 - (-6)} = 21,3 \cdot 10^{-4+6} = 21,3 \cdot 10^2 \]

\(21,3 \cdot 100 = 2130\)

Ответ: 2130.