1.15. \(\int\) \(\frac{3\sqrt{x^3} + 2\sqrt{x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}}\) dx

Решение:

Для решения интеграла \( \int \frac{3\sqrt{x^3} + 2\sqrt{x} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx \) сначала упростим числитель, используя свойства корней:

\( \sqrt{x^3} = x^{\frac{3}{2}} \), \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \)

Теперь разделим каждый член числителя на \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \):

\[ \frac{3x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} = 3x^{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}} \]

\[ = 3x^{\frac{2}{2}} + 2x^0 - x^0 = 3x^1 + 2(1) - 1 = 3x + 1 \]

Интегрируем полученное выражение:

\[ \int (3x + 1) dx = 3 \int x dx + \int 1 dx \]

Применяем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ 3 \frac{x^2}{2} + x + C \]

Ответ: \( \frac{3}{2}x^2 + x + C \).