1.11. \(\int\) 4x^2(4x+2)^2 dx

Решение:

Для решения интеграла \( \int 4x^2(4x+2)^2 dx \) раскроем скобки:

\( (4x+2)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(2) + 2^2 = 16x^2 + 16x + 4 \)

Теперь умножим на \( 4x^2 \):

\( 4x^2(16x^2 + 16x + 4) = 64x^4 + 64x^3 + 16x^2 \)

Интегрируем полученное выражение:

\[ \int (64x^4 + 64x^3 + 16x^2) dx = 64 \int x^4 dx + 64 \int x^3 dx + 16 \int x^2 dx \]

Применяем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ 64 \frac{x^5}{5} + 64 \frac{x^4}{4} + 16 \frac{x^3}{3} + C \]

Упрощаем:

\[ \frac{64}{5}x^5 + 16x^4 + \frac{16}{3}x^3 + C \]

Ответ: \( \frac{64}{5}x^5 + 16x^4 + \frac{16}{3}x^3 + C \).