1.14. \(\int\) \(\frac{x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{3}{3}} + x^{\frac{2}{3}}}{x}\) dx

Решение:

Для решения интеграла \( \int \frac{x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{3}{3}} + x^{\frac{2}{3}}}{x} dx \) разделим каждый член числителя на \( x \) (что эквивалентно вычитанию 1 из степени):

\[ \frac{x^{\frac{4}{3}}}{x^1} - \frac{x^{\frac{3}{3}}}{x^1} + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^1} = x^{\frac{4}{3}-1} - x^{\frac{3}{3}-1} + x^{\frac{2}{3}-1} = x^{\frac{1}{3}} - x^0 + x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{3}} - 1 + x^{-\frac{1}{3}} \]

Теперь интегрируем полученное выражение:

\[ \int (x^{\frac{1}{3}} - 1 + x^{-\frac{1}{3}}) dx = \int x^{\frac{1}{3}} dx - \int 1 dx + \int x^{-\frac{1}{3}} dx \]

Применяем правило интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} - x + \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} + C \]

Упрощаем степени и знаменатели:

\[ \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} - x + \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - x + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C \]

Ответ: \( \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - x + \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} + C \).