08.15. Решите уравнения: а) $2\cdot4^x-5\cdot2^x+2=0$; б) $3\cdot9^x-10\cdot3^x+3=0$; в) $4\left(\frac1{16}\right)^x+15\left(\frac14\right)^x-4=0$; г) $(0{,}25)^x+1{,}5\cdot(0{,}5)^x-1=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 08.15. Решите уравнения: а) $2\cdot4^x-5\cdot2^x+2=0$; б) $3\cdot9^x-10\cdot3^x+3=0$; в)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Пусть $t=2^x>0$. Тогда $4^x=t^2$, и получаем $2t^2-5t+2=0$. Разложим: $(2t-1)(t-2)=0$, поэтому $t=\frac12$ или $t=2$. Отсюда $x=-1$ или $x=1$.
б) Пусть $t=3^x>0$. Тогда $9^x=t^2$, поэтому $3t^2-10t+3=0$. Корни: $t=3$ и $t=\frac13$. Следовательно, $x=1$ или $x=-1$.
в) Пусть $t=(\frac14)^x>0$. Так как $(\frac1{16})^x=t^2$, имеем $4t^2+15t-4=0$. Корни: $t=\frac14$ и $t=-4$. Учитываем условие $t>0$: $(\frac14)^x=\frac14$, значит, $x=1$.
г) Пусть $t=(0{,}5)^x>0$. Тогда $(0{,}25)^x=t^2$, поэтому $t^2+1{,}5t-1=0$. Корни: $t=0{,}5$ и $t=-2$; подходит только положительный. Значит, $(0{,}5)^x=0{,}5$, откуда $x=1$.

Ответ: а) $x=-1,1$; б) $x=-1,1$; в) $x=1$; г) $x=1$.

08.15. Решите уравнения: а) \(2\cdot4^x-5\cdot2^x+2=0\); б) \(3\cdot9^x-10\cdot3^x+3=0\); в) \(4\left(\frac1{16}\right)^x+15\left(\frac14\right)^x-4=0\); г) \((0{,}25)^x+1{,}5\cdot(0{,}5)^x-1=0\).