08.14. Решите уравнение: а) 2^(2x) − 6 · 2^x + 8 = 0; б) 3^(2x) − 6 · 3^x − 27 = 0; в) (1/6)^(2x) − 5 · (1/6)^x − 6 = 0; г) (1/6)^(2x) + 5 · (1/6)^x − 6 = 0.

В каждом уравнении вводим замену: основание в степени \(x\) обозначаем через положительное число \(t\).

а) \(t=2^x>0\): \(t^2-6t+8=0\), откуда \(t=2\) или \(t=4\). Поэтому \(x=1\) или \(x=2\).

б) \(t=3^x>0\): \(t^2-6t-27=0\), корни \(9\) и \(-3\). Учитываем только положительный: \(3^x=9\), значит, \(x=2\).

в) \(t=(\frac16)^x>0\): \(t^2-5t-6=0\), корни \(6\) и \(-1\). Поэтому \((\frac16)^x=6=(\frac16)^{-1}\), откуда \(x=-1\).

г) \(t=(\frac16)^x>0\): \(t^2+5t-6=0\), корни \(1\) и \(-6\). Значит, \((\frac16)^x=1\), откуда \(x=0\).

Ответ: а) 1, 2; б) 2; в) −1; г) 0.