08.10. Решите уравнение: а) (√10/3)^(3x² − 3) = 0,81^(2 − x²); б) (⁴√(2/3))^(x² + 4) = 20,25^(x + 1).

а) При основании \(\frac{\sqrt{10}}3\) и \(0,81\) уравнение не сводится к равенству показателей одной и той же степени. Положив \(y=x^2\) и взяв логарифмы, получаем \((3y-3)\ln(\frac{\sqrt{10}}3)=(2-y)\ln(0,81)\). Отсюда \(y=\frac{3\ln(\sqrt{10}/3)+2\ln(0,81)}{3\ln(\sqrt{10}/3)+\ln(0,81)}\), что отрицательно. Поскольку \(x^2\ge0\), действительных решений нет.

б) Основания положительны и не равны единице, поэтому можно взять логарифмы. Получаем \((x^2+4)\ln(\sqrt[4]{2/3})=(x+1)\ln(20,25)\), то есть квадратное уравнение. Обозначив \(A=\ln(\sqrt[4]{2/3})\), \(B=\ln(20,25)\), имеем \(Ax^2-Bx+(4A-B)=0\). Следовательно, \(x=\frac{B\pm\sqrt{B^2-4A(4A-B)}}{2A}\).

Ответ: а) действительных корней нет; б) корни задаются указанной формулой.