№5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете ВС отметили точку К такую, что АКС=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

В треугольнике ABC:

∠C = 90°

∠A = 60°

Тогда ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°

В треугольнике AKC:

∠AKC = 60°

∠A = 60°

Тогда ∠KAC = 180° - 90° - 60° = 30°

Рассмотрим треугольник АВК. В этом треугольнике известны два угла: ∠B = 30° и ∠AKB = 120° (смежный с углом 60°).

Тогда ∠BAK = 180° - 30° - 120° = 30°

Тогда треугольник АВК — равнобедренный, так как углы при основании равны.

АВ = ВК = 12 см

В прямоугольном треугольнике ABC катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

AC = 1/2 AB = 1/2 * 12 = 6 см

В прямоугольном треугольнике AKC:

\(\frac{CK}{AC} = \cot{\angle{AKC}}\)

\(CK = AC \cdot \cot{\angle{AKC}} = 6 \cdot \cot{60°} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\) см

Ответ: СК = \(2\sqrt{3}\) см

Проверка за 10 секунд: Убедись, что использованы свойства углов и тригонометрические функции верно.

Доп. профит: Уровень эксперт. Задачи на геометрию требуют глубоких знаний и умения видеть несколько решений.