№ 8. В арифметической прогрессии а15= 43, 843= 183. Найти первый член прогрессии, разность и сумму с тринадцатого по сороковой член включительно.

Решение:

• Дано: \( a_{15} = 43 \) и \( a_{43} = 183 \).
• Формула n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n - 1)d \).
• Составим систему уравнений:
• \( a_{15} = a_1 + 14d = 43 \) (1)
• \( a_{43} = a_1 + 42d = 183 \) (2)
• Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
• \( (a_1 + 42d) - (a_1 + 14d) = 183 - 43 \)
• \( 28d = 140 \)
• \( d = \frac{140}{28} = 5 \)
• Подставим значение d в уравнение (1):
• \( a_1 + 14 \cdot 5 = 43 \)
• \( a_1 + 70 = 43 \)
• \( a_1 = 43 - 70 = -27 \)
• Найдем сумму с 13-го по 40-й член включительно:
• \( S_{13-40} = S_{40} - S_{12} \)
• \( S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} \)
• \( a_{40} = a_1 + 39d = -27 + 39 \cdot 5 = -27 + 195 = 168 \)
• \( a_{12} = a_1 + 11d = -27 + 11 \cdot 5 = -27 + 55 = 28 \)
• \( S_{40} = \frac{40(-27 + 168)}{2} = \frac{40 \cdot 141}{2} = 20 \cdot 141 = 2820 \)
• \( S_{12} = \frac{12(-27 + 28)}{2} = \frac{12 \cdot 1}{2} = 6 \)
• \( S_{13-40} = 2820 - 6 = 2814 \)

Ответ: Первый член прогрессии: -27, разность: 5, сумма с 13-го по 40-й член включительно: 2814