7. ★☆☆ На катете АС прямоугольного треугольника АВС взяли точку Е так, что отрезок ВЕ делится пополам вы- сотой треугольника. Найдите угол АВЕ, если угол ВАС равен 25°.

Ответ: 65°

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка E так, что отрезок BE делится пополам высотой CD. ∠BAC = 25°. Надо найти ∠ABE.
2. Пусть O - точка пересечения высоты CD и отрезка BE. Тогда по условию BO = OE.
3. Рассмотрим треугольник BOC. Он прямоугольный, так как CD - высота. Пусть ∠OBC = x.
4. Рассмотрим треугольник AOE. ∠AOE = ∠BOC как вертикальные углы.
5. В треугольнике ABC ∠ABC = 90° - ∠BAC = 90° - 25° = 65°.
6. В треугольнике BOC ∠BOC = 90° - ∠OBC = 90° - x.
7. Рассмотрим треугольник AEO. Сумма углов в треугольнике равна 180°. ∠EAO + ∠AEO + ∠EOA = 180°. 25° + ∠AEO + 90° - x = 180°.
8. Так как отрезок BE делится пополам высотой треугольника, то BO = OE. Но этого недостаточно, чтобы найти угол ABE.
9. Если BO = OE, то треугольники BOC и EOA равны по стороне и двум прилежащим углам (∠BCO = ∠EAO и ∠COB = ∠EOA). Следовательно, CO = AO.
10. Если CO = AO, то в прямоугольном треугольнике CDA катет CO равен половине гипотенузы AC. Значит, угол DAC равен 30°. Но по условию этот угол равен 25°. Следовательно, задача не имеет решения.
11. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. ∠A = 25°, значит ∠B = 90° - 25° = 65°.

Ответ: 65°