13. (1/3)√ˣ⁺² > (1/3)ˣ

Решение:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+2}} > \left(\frac{1}{3}\right)^x$$

Так как основание $$0 < \frac{1}{3} < 1$$, то функция убывает. Следовательно, неравенство изменит знак:

$$\sqrt{x+2} < x$$

ОДЗ: $$x + 2 \ge 0$$, т.е. $$x \ge -2$$.

Обе части неравенства неотрицательны, возведем в квадрат:

$$x + 2 < x^2$$

$$x^2 - x - 2 > 0$$

Найдем корни уравнения $$x^2 - x - 2 = 0$$:

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Решение неравенства: $$x < -1$$ или $$x > 2$$.

Учитывая ОДЗ $$x \ge -2$$, получаем $$x \in [-2; -1) \cup (2; +\infty)$$.

Но так как $$\sqrt{x+2} < x$$, то $$x > 0$$.

Таким образом, окончательное решение: $$x > 2$$, т.е. $$x \in (2; +\infty)$$.

Ответ: $$x > 2$$