20. 4⁻ˣ⁺⁰,⁵ - 7 · 2⁻ˣ - 4 < 0

Решение:

$$4^{-x+0.5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0$$

$$4^{-x} \cdot 4^{0.5} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0$$

$$2 \cdot 4^{-x} - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0$$

$$2 \cdot (2^{-x})^2 - 7 \cdot 2^{-x} - 4 < 0$$

Пусть $$t = 2^{-x}$$, тогда $$2t^2 - 7t - 4 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$2t^2 - 7t - 4 = 0$$:

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$$

$$t_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$$

Решением неравенства является $$-\frac{1}{2} < t < 4$$.

Так как $$t = 2^{-x} > 0$$, то $$0 < t < 4$$

Следовательно, $$0 < 2^{-x} < 4$$

$$2^{-x} < 2^2$$

$$-x < 2$$

$$x > -2$$

Ответ: $$x > -2$$