4. \(\frac{x+5}{x-2} + \frac{x+2}{x+1} = \frac{21}{(x-2)(x+1)}.\)

Умножим обе части уравнения на \((x-2)(x+1)\):

\((x+5)(x+1) + (x+2)(x-2) = 21;\)

\(x^2 + 6x + 5 + x^2 - 4 = 21;\)

\(2x^2 + 6x + 1 = 21;\)

\(2x^2 + 6x - 20 = 0;\)

\(x^2 + 3x - 10 = 0;\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49;\)

\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = 2;\)

\(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = -5.\)

Проверяем корни на ОДЗ.

ОДЗ: \(x
eq 2\), \(x
eq -1.\)

Значит, корень \(x_1 = 2\) не подходит.

Ответ: -5