2. \(\frac{x}{x+4} + \frac{6}{x-4} = \frac{32}{x^2-16};\)

Для решения уравнения необходимо привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.

\(\frac{x}{x+4} + \frac{6}{x-4} = \frac{32}{x^2-16};\)

Общий знаменатель: \(x^2 - 16\) или \((x-4)(x+4)\)

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

\(\frac{x(x-4)(x+4)}{x+4} + \frac{6(x-4)(x+4)}{x-4} = \frac{32(x-4)(x+4)}{(x-4)(x+4)}\)

\(x(x-4) + 6(x+4) = 32\)

\(x^2 - 4x + 6x + 24 = 32\)

\(x^2 + 2x + 24 - 32 = 0\)

\(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Решаем квадратное уравнение:

\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)

\(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\)

\(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

Проверяем корни на ОДЗ.

ОДЗ: \(x
eq 4\) и \(x
eq -4\)

Значит, корень \(x_2 = -4\) не подходит.

Ответ: 2