Рассмотрим диагонали параллелограмма. Они пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Пусть \(O\) — середина диагоналей \(AC\) и \(BD\).

Поскольку \(NC=ND\), точка \(N\) лежит на серединном перпендикуляре к \(CD\). Также \(NA=NB\), так как \(N\) — середина \(AB\). Следовательно, и \(N\), и \(O\) равноудалены от \(A\) и \(B\), а значит, прямая \(NO\) является серединным перпендикуляром к \(AB\). Аналогично из \(NC=ND\) и равенства \(OC=OD\) следует, что \(NO\) — серединный перпендикуляр к \(CD\).

В параллелограмме отрезки \(AB\) и \(CD\) параллельны. Если одна прямая перпендикулярна обеим, то расстояние между параллельными сторонами одинаково; здесь их серединные перпендикуляры совпадают, поэтому направление \(AB\) перпендикулярно направлению \(CD\). Однако эти стороны параллельны, и данное рассуждение само по себе не доказывает прямоугольность.

Дадим прямое доказательство: обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf b\) и \(\overrightarrow{AD}=\mathbf d\), а точку \(A\) примем за начало координат. Тогда \(B=\mathbf b\), \(D=\mathbf d\), \(C=\mathbf b+\mathbf d\), \(N=\frac12\mathbf b\). Из \(NC=ND\) следует

\(\left|\frac12\mathbf b+\mathbf d\right|^2=\left|\mathbf d-\frac12\mathbf b\right|^2.\)

Раскрывая квадраты, получаем \(\mathbf b\cdot\mathbf d=0\). Значит, \(AB\perp AD\). Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.

Поделись с друзьями