записать в тригонометрической форме комплексные числа: 7. z = 1 + j. 61. z=2√2-2j√6; 58. z=-2+ 2j. 62. z = √3j. 59. z = √3 + j. 63. z=-10. 60. z=-3+3j 64. z = 6j.

Решение:

Для преобразования комплексного числа $$z = a + bj$$ в тригонометрическую форму $$z = r(\cos \phi + j \sin \phi)$$ необходимо найти модуль $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ и аргумент $$\phi = \operatorname{arctg}(\frac{b}{a})$$, учитывая квадрант, в котором находится число.

• 7. z = 1 + j
  Действительная часть $$a = 1$$, мнимая часть $$b = 1$$.
  Модуль $$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$.
  Аргумент $$\phi = \operatorname{arctg}(\frac{1}{1}) = \operatorname{arctg}(1) = 45^{\circ}$$ (находится в первом квадранте).
  Тригонометрическая форма: $$z = \sqrt{2}(\cos 45^{\circ} + j \sin 45^{\circ})$$.
• 61. z = 2√2 - 2j√6
  Действительная часть $$a = 2\sqrt{2}$$, мнимая часть $$b = -2\sqrt{6}$$.
  Модуль $$r = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{6})^2} = \sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$.
  Аргумент $$\phi$$: $$\operatorname{tg} \phi = \frac{-2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = -\sqrt{3}$$. Угол в четвёртом квадранте, $$\phi = -60^{\circ}$$ или $$300^{\circ}$$.
  Тригонометрическая форма: $$z = 4\sqrt{2}(\cos (-60^{\circ}) + j \sin (-60^{\circ}))$$ или $$z = 4\sqrt{2}(\cos 300^{\circ} + j \sin 300^{\circ})$$.
• 58. z = -2 + 2j
  Действительная часть $$a = -2$$, мнимая часть $$b = 2$$.
  Модуль $$r = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$.
  Аргумент $$\phi$$: $$\operatorname{tg} \phi = \frac{2}{-2} = -1$$. Угол во втором квадранте, $$\phi = 135^{\circ}$$.
  Тригонометрическая форма: $$z = 2\sqrt{2}(\cos 135^{\circ} + j \sin 135^{\circ})$$.
• 62. z = √3j
  Действительная часть $$a = 0$$, мнимая часть $$b = \sqrt{3}$$.
  Модуль $$r = \sqrt{0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$$.
  Аргумент $$\phi = 90^{\circ}$$ (число на положительной мнимой оси).
  Тригонометрическая форма: $$z = \sqrt{3}(\cos 90^{\circ} + j \sin 90^{\circ})$$.
• 59. z = √3 + j
  Действительная часть $$a = \sqrt{3}$$, мнимая часть $$b = 1$$.
  Модуль $$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$$.
  Аргумент $$\phi = \operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$$ (находится в первом квадранте).
  Тригонометрическая форма: $$z = 2(\cos 30^{\circ} + j \sin 30^{\circ})$$.
• 63. z = -10
  Действительная часть $$a = -10$$, мнимая часть $$b = 0$$.
  Модуль $$r = \sqrt{(-10)^2 + 0^2} = 10$$.
  Аргумент $$\phi = 180^{\circ}$$ (число на отрицательной действительной оси).
  Тригонометрическая форма: $$z = 10(\cos 180^{\circ} + j \sin 180^{\circ})$$.
• 60. z = -3 + 3j
  Действительная часть $$a = -3$$, мнимая часть $$b = 3$$.
  Модуль $$r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$.
  Аргумент $$\phi$$: $$\operatorname{tg} \phi = \frac{3}{-3} = -1$$. Угол во втором квадранте, $$\phi = 135^{\circ}$$.
  Тригонометрическая форма: $$z = 3\sqrt{2}(\cos 135^{\circ} + j \sin 135^{\circ})$$.
• 64. z = 6j
  Действительная часть $$a = 0$$, мнимая часть $$b = 6$$.
  Модуль $$r = \sqrt{0^2 + 6^2} = 6$$.
  Аргумент $$\phi = 90^{\circ}$$ (число на положительной мнимой оси).
  Тригонометрическая форма: $$z = 6(\cos 90^{\circ} + j \sin 90^{\circ})$$.

Ответ: 7. $$z = rac{2 ext{π}}{4}( ext{cos} rac{ ext{π}}{4} + ext{j} ext{sin} rac{ ext{π}}{4} )$$. 61. $$z = 4 rac{2}{} ( ext{cos} rac{ ext{π}}{3} + ext{j} ext{sin} rac{ ext{π}}{3} )$$. 58. $$z = 2 rac{2}{} ( ext{cos} rac{3 ext{π}}{4} + ext{j} ext{sin} rac{3 ext{π}}{4} )$$. 62. $$z = rac{3}{} ( ext{cos} rac{ ext{π}}{2} + ext{j} ext{sin} rac{ ext{π}}{2} )$$. 59. $$z = 2( ext{cos} rac{ ext{π}}{6} + ext{j} ext{sin} rac{ ext{π}}{6} )$$. 63. $$z = 10( ext{cos} ext{π} + ext{j} ext{sin} ext{π} )$$. 60. $$z = 3 rac{2}{} ( ext{cos} rac{3 ext{π}}{4} + ext{j} ext{sin} rac{3 ext{π}}{4} )$$. 64. $$z = 6( ext{cos} rac{ ext{π}}{2} + ext{j} ext{sin} rac{ ext{π}}{2} )$$.