70. Найти: z⁶, если z = √3 + j 71. Вычислить: z = √-16 72. Найти: z⁵, если z = 3 - 3j

Решение:

Для возведения комплексного числа в степень используется формула Муавра: $$z^n = r^n (\cos (n\phi) + j \sin (n\phi))$$. Для извлечения корня применяется обобщенная формула Муавра.

• 70. Найти: z⁶, если z = √3 + j
  Сначала представим $$z = \sqrt{3} + j$$ в тригонометрической форме.
  Модуль $$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$$.
  Аргумент $$\phi$$: $$\operatorname{tg} \phi = \frac{1}{\sqrt{3}}$$, $$\phi = 30^{\circ}$$ (первый квадрант).
  Итак, $$z = 2(\cos 30^{\circ} + j \sin 30^{\circ})$$.
  Теперь возведем в 6-ю степень:
  $$z^6 = 2^6 (\cos (6 · 30^{\circ}) + j \sin (6 · 30^{\circ}))$$
  $$z^6 = 64 (\cos 180^{\circ} + j \sin 180^{\circ})$$
  $$z^6 = 64 (-1 + j · 0) = -64$$.
• 71. Вычислить: z = √-16
  Извлечем квадратный корень из -16.
  $$-16 = 16 \cdot (-1) = 16 (\cos 180^{\circ} + j \sin 180^{\circ})$$.
  Используем формулу для корня $$n$$-й степени: $$z_k = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{\phi + 2\pi k}{n} + j \sin \frac{\phi + 2\pi k}{n})$$, где $$k = 0, 1, ..., n-1$$.
  Здесь $$n=2$$, $$r=16$$, $$\phi = 180^{\circ} = \pi$$ радиан.
  
  • При $$k=0$$: $$z_0 = \sqrt{16} (\cos \frac{180^{\circ}}{2} + j \sin \frac{180^{\circ}}{2}) = 4 (\cos 90^{\circ} + j \sin 90^{\circ}) = 4(0 + j · 1) = 4j$$.
  • При $$k=1$$: $$z_1 = \sqrt{16} (\cos \frac{180^{\circ} + 360^{\circ}}{2} + j \sin \frac{180^{\circ} + 360^{\circ}}{2}) = 4 (\cos \frac{540^{\circ}}{2} + j \sin \frac{540^{\circ}}{2}) = 4 (\cos 270^{\circ} + j \sin 270^{\circ}) = 4(0 + j · (-1)) = -4j$$.

  Таким образом, $$\sqrt{-16} = \pm 4j$$.

• 72. Найти: z⁵, если z = 3 - 3j
  Представим $$z = 3 - 3j$$ в тригонометрической форме.
  Модуль $$r = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$.
  Аргумент $$\phi$$: $$\operatorname{tg} \phi = \frac{-3}{3} = -1$$. Угол в четвертом квадранте, $$\phi = -45^{\circ}$$ или $$315^{\circ}$$.
  Итак, $$z = 3\sqrt{2}(\cos (-45^{\circ}) + j \sin (-45^{\circ}))$$.
  Теперь возведем в 5-ю степень:
  $$z^5 = (3\sqrt{2})^5 (\cos (5 · (-45^{\circ})) + j \sin (5 · (-45^{\circ})))$$
  $$z^5 = (3^5 · (\sqrt{2})^5) (\cos (-225^{\circ}) + j \sin (-225^{\circ}))$$
  $$z^5 = (243 · 4\sqrt{2}) (\cos (135^{\circ}) + j \sin (135^{\circ}))$$ (так как $$-225^{\circ} + 360^{\circ} = 135^{\circ}$$)
  $$z^5 = 972\sqrt{2} (-\frac{\sqrt{2}}{2} + j \frac{\sqrt{2}}{2})$$
  $$z^5 = 972\sqrt{2} · \frac{\sqrt{2}}{2} (-1 + j)$$
  $$z^5 = 972 · \frac{2}{2} (-1 + j)$$
  $$z^5 = 972 (-1 + j) = -972 + 972j$$.

Ответ: 70. -64. 71. $$ \pm 4j$$. 72. $$-972 + 972j$$.