Задумали нечётное трёхзначное число. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили 198. Найдите задуманное число.

Решение:

Пусть задуманное трёхзначное число будет \( 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) — цифры, \( a \neq 0 \), \( c \neq 0 \) (так как число, записанное в обратном порядке, тоже трёхзначное), и \( a, b, c \) — нечётные цифры. Так как число нечётное, \( c \in \{1, 3, 5, 7, 9} \).

Число, записанное в обратном порядке: \( 100c + 10b + a \).

По условию:

\( (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 198 \)

\( 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 198 \)

\( 99a - 99c = 198 \)

\( 99(a - c) = 198 \)

\( a - c = \frac{198}{99} \)

\( a - c = 2 \).

Теперь нужно найти такие нечётные цифры \( a \) и \( c \), чтобы \( a - c = 2 \) и \( c \neq 0 \).

Возможные пары \( (a, c) \):

• Если \( c = 1 \), то \( a = 1 + 2 = 3 \). Число будет вида \( 3b1 \). \( a=3 \) и \( c=1 \) — нечётные.
• Если \( c = 3 \), то \( a = 3 + 2 = 5 \). Число будет вида \( 5b3 \). \( a=5 \) и \( c=3 \) — нечётные.
• Если \( c = 5 \), то \( a = 5 + 2 = 7 \). Число будет вида \( 7b5 \). \( a=7 \) и \( c=5 \) — нечётные.
• Если \( c = 7 \), то \( a = 7 + 2 = 9 \). Число будет вида \( 9b7 \). \( a=9 \) и \( c=7 \) — нечётные.
• Если \( c = 9 \), то \( a = 9 + 2 = 11 \). \( a \) — не цифра.

Цифра \( b \) может быть любой нечётной цифрой: \( b ∈ \{1, 3, 5, 7, 9} \).

Задуманное число — нечётное, значит, \( c \) — нечётная цифра. Это условие уже учтено.

Задуманное число — трёхзначное, значит, \( a \neq 0 \). Это условие тоже учтено.

Поскольку условие задачи не накладывает ограничений на среднюю цифру \( b \) (кроме того, что она должна быть нечётной, так как она также является цифрой нечётного числа), то возможных решений много.

Пример: если \( a = 3, c = 1 \), то число может быть \( 311, 331, 351, 371, 391 \).

Проверим \( 311 \): \( 311 - 113 = 198 \).

Проверим \( 331 \): \( 331 - 133 = 198 \).

Проверим \( 351 \): \( 351 - 153 = 198 \).

Проверим \( 371 \): \( 371 - 173 = 198 \).

Проверим \( 391 \): \( 391 - 193 = 198 \).

Все эти числа являются ответом. Задача может предполагать одно из них.

Ответ: Любое число вида \( 100a + 10b + c \) или \( 100c + 10b + a \), где \( a-c=2 \), \( a, c \) — нечётные цифры, \( c \neq 0 \), а \( b \) — любая нечётная цифра. Например, 311, 533, 755, 977.