ЗАДАНИЕ №2 В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D. На рисунке отмечены три равных угла. Известны длины отрезков: BD = 10 см и BC = 14 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию ∠ABD = ∠DBC = ∠BCA. Обозначим эти углы как α.

Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = α + α = 2α.

Рассмотрим треугольники BCD и ABC. У них ∠BCA общий и ∠DBC = ∠BCA = α.

Следовательно, треугольники BCD и ABC подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

Так как треугольники подобны, то соответственные стороны пропорциональны: $$ \frac{BC}{AC} = \frac{BD}{BC} $$.

$$ \frac{14}{AC} = \frac{10}{14} $$.

AC = (14 × 14) / 10 = 196 / 10 = 19,6 см.

Рассмотрим треугольник ABD. В нём ∠ABD = ∠BAD = α. Следовательно, треугольник ABD - равнобедренный с основанием AD.

Тогда AB = BD = 10 см.

Периметр треугольника ABC равен: P_ABC = AB + BC + AC = 10 + 14 + 19,6 = 43,6 см.

Ответ: P_ABC = 43,6 см.