ЗАДАНИЕ №1 На изображённом четырёхугольнике отмечены равные стороны. Известно, что ∠CBD = 69°, ∠ADC = 126°. Найти угол ABD.

Рассмотрим четырехугольник ABCD. По условию AD = CD, следовательно, треугольник ADC - равнобедренный с основанием AC. Тогда углы при основании равны: ∠DAC = ∠DCA. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, ∠DAC = ∠DCA = (180° - ∠ADC) / 2 = (180° - 126°) / 2 = 54° / 2 = 27°.

Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Тогда углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA. ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD. Так как ∠CBD = 69°, то ∠ABD = ∠ABC - ∠CBD.

∠ABC = 360° - ∠ADC - ∠DAC - ∠CBD - ∠BAC - ∠BCA.

∠ADC = ∠ABC + ∠DAC + ∠DCA = 126 + 27 + 27 = 180°.

∠DAC = ∠DCA = (180° - ∠ADC) / 2 = (180° - 126°) / 2 = 54° / 2 = 27°.

∠ABC = 180 - ∠BAC - ∠BCA

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = (180 - ∠BAC - ∠BCA) - ∠CBD

∠BAC + ∠BCA = 360° - ∠ABC - ∠CBD - ∠DAC - ∠DCA - ∠ADC = 360° - (∠ABC + ∠CBD) - (∠DAC + ∠DCA) - ∠ADC

Так как AD = CD, то треугольник ADC - равнобедренный с основанием AC, и ∠DAC = ∠DCA = (180° - ∠ADC) / 2 = (180° - 126°) / 2 = 27°.

Сумма углов четырехугольника равна 360°, то ∠ABC + ∠ADC = ∠BAD + ∠BCD = 180°

∠BAD = ∠ABC - ∠DAC

∠ABC = 180° - ∠ADC = 180° - 126° = 54°.

∠ABD = ∠ABC - ∠CBD = 54° - 27° = 27°.

Ответ: ∠ABD = 27°.