Задание 8.4. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{5\pi}{2}\); 4\(\pi\)]

Решение:

Из задания 8.4. а) мы получили корни уравнения в виде:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\frac{5\pi}{2}; 4\pi] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi + 12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} \). \( \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \), \( 4\pi = \frac{24\pi}{6} \). \( \frac{13\pi}{6} \) меньше \( \frac{15\pi}{6} \), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{\pi + 24\pi}{6} = \frac{25\pi}{6} \). Так как \( \frac{15\pi}{6} \le \frac{25\pi}{6} \le \frac{24\pi}{6} \) (неверно, \( 25\pi/6 \) больше \( 24\pi/6 \)), то \( x = \frac{25\pi}{6} \) не принадлежит отрезку.
• При \( n=2 \), \( x=\frac{25\pi}{6} \). \( \frac{15\pi}{6} \le \frac{25\pi}{6} \le \frac{24\pi}{6} \) - неверно, \( 25\pi/6 \) больше \( 24\pi/6 \).
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} > 4\pi \) (так как \( 25 \) больше \( 24 \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi + 12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \). \( \frac{17\pi}{6} \) меньше \( \frac{15\pi}{6} \) (т.е. \( \frac{5\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = 2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{5\pi + 24\pi}{6} = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{29\pi}{6} \) больше \( \frac{24\pi}{6} \) (т.е. \( 4\pi \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• Проверим \( n=2 \) для \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \): \( x = \frac{25\pi}{6} \). \( \frac{15\pi}{6} \le \frac{25\pi}{6} \le \frac{24\pi}{6} \) - неверно. \( 25>24 \).
• Проверим \( n=2 \) для \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \): \( x = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{15\pi}{6} \le \frac{29\pi}{6} \le \frac{24\pi}{6} \) - неверно. \( 29>24 \).
• Для \( n=2 \) в первой серии: \( x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \). \( \frac{25\pi}{6} > 4\pi \) (т.к. \( 25 > 24 \)).
• Для \( n=2 \) во второй серии: \( x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6} \). \( \frac{29\pi}{6} > 4\pi \) (т.к. \( 29 > 24 \)).

Корней, принадлежащих указанному отрезку, нет.

Ответ: нет корней.