Задание 8.1. а) Решите уравнение 4cos^2x+4sinx-1=0

Решение:

Для решения уравнения заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \):

\[ 4(1 - \sin^2x) + 4\sin x - 1 = 0 \]

\[ 4 - 4\sin^2x + 4\sin x - 1 = 0 \]

\[ -4\sin^2x + 4\sin x + 3 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ 4\sin^2x - 4\sin x - 3 = 0 \]

Пусть \( t = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 4t^2 - 4t - 3 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]

Найдём корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

\[ t_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} \]

Так как \( \sin x \) не может быть больше 1 или меньше -1, то \( \sin x = \frac{3}{2} \) не имеет решений.

Рассмотрим \( \sin x = -\frac{1}{2} \).

Основные решения:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

или

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \) и \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).