Задание 8.1. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\pi\); \(\frac{5\pi}{2}\)]

Решение:

Из задания 8.1. а) мы получили корни уравнения в виде:

\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Теперь найдём корни, принадлежащие отрезку \( [\pi; \frac{5\pi}{2}] \).

Рассмотрим первую серию корней: \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 0 \): \( x = \frac{7\pi}{6} \). \( \pi = \frac{6\pi}{6} \), \( \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \). Так как \( \frac{6\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6} \le \frac{15\pi}{6} \), то \( x = \frac{7\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = 1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi + 12\pi}{6} = \frac{19\pi}{6} \). \( \frac{19\pi}{6} \) больше \( \frac{15\pi}{6} \) (т.е. \( \frac{5\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = -1 \): \( x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = \frac{7\pi - 12\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6} \), что меньше \( \pi \).

Рассмотрим вторую серию корней: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \).

• При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{- \pi + 12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \). Так как \( \frac{6\pi}{6} \le \frac{11\pi}{6} \le \frac{15\pi}{6} \), то \( x = \frac{11\pi}{6} \) принадлежит отрезку.
• При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{- \pi + 24\pi}{6} = \frac{23\pi}{6} \). \( \frac{23\pi}{6} \) больше \( \frac{15\pi}{6} \) (т.е. \( \frac{5\pi}{2} \)), поэтому этот корень не принадлежит отрезку.
• При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{6} \), что меньше \( \pi \).

Ответ: \( \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \).