Задание 5. Параллельные отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ заключены между параллельными плоскостями α и β (Рис. 5). Известно, что AB = 12, BC = 5, косинус угла ABC равен 0,4. Найти A₁C₁.

Проекция из плоскости α на плоскость β вдоль параллельных отрезков задаёт параллельное перенесение. Поэтому соответствующие отрезки равны: \(A_1B_1=AB\), \(B_1C_1=BC\), а угол \(A_1B_1C_1\) равен углу ABC.

В треугольнике A₁B₁C₁ применим теорему косинусов:

\(A_1C_1^2=A_1B_1^2+B_1C_1^2-2\cdot A_1B_1\cdot B_1C_1\cos\angle A_1B_1C_1\).

Подставляем данные: \(A_1C_1^2=12^2+5^2-2\cdot12\cdot5\cdot0.4=144+25-48=121\), значит, \(A_1C_1=11\).

Ответ: 11.