Задание 4. AB₁C₁ и AA₁B — параллелограммы (Рис. 4). Докажите параллельность плоскостей ABC и A₁B₁C₁.

В параллелограмме AB₁C₁ стороны AB₁ и B₁C₁ параллельны соответственно AC₁ и AB, поэтому \(AB\parallel B_1C_1\).

В параллелограмме AA₁B стороны AA₁ и AB параллельны соответственно BB₁ и A₁B₁, поэтому \(AB\parallel A_1B_1\).

Следовательно, \(A_1B_1\parallel AB\parallel B_1C_1\), то есть прямые A₁B₁ и B₁C₁ пересекаются в B₁ и лежат в плоскости A₁B₁C₁, будучи параллельными двум пересекающимся прямым AB и AC (по сторонам параллелограммов). Значит, плоскости ABC и A₁B₁C₁ параллельны.

Доказано.