Задание 4. Решите уравнение \(a^{x-3}=b^{1+x}\).

Для действительных показателей предполагаем \(a>0\) и \(b>0\). Логарифмируем обе части: \((x-3)\ln a=(x+1)\ln b\).

Если \(a\ne b\), то \(x=\dfrac{3\ln a+\ln b}{\ln a-\ln b}\).

Если \(a=b\), уравнение требует \(a^{-3}=a\), то есть \(a^4=1\). При положительном основании это возможно только при \(a=b=1\); тогда уравнение верно для любого \(x\). При \(a=b\ne1\) решений нет.

Ответ: при \(a,b>0\) и \(a\ne b\), \(x=\dfrac{3\ln a+\ln b}{\ln a-\ln b}\); при \(a=b=1\) — любое действительное \(x\); при \(a=b\ne1\) решений нет.