Задание № 4 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 72 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90° \).

1. Если один из острых углов равен 60°, то второй острый угол равен \( 90° - 60° = 30° \).
2. Меньший катет лежит напротив меньшего угла (30°). Обозначим его \( a \).
3. Гипотенузу обозначим \( c \).
4. Известно, что \( a + c = 72 \text{ см} \).
5. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы: \( a = \frac{1}{2}c \).
6. Подставим это равенство в первое уравнение: \( \frac{1}{2}c + c = 72 \)
7. \( \frac{3}{2}c = 72 \)
8. \( c = 72 \cdot \frac{2}{3} = 24 \cdot 2 = 48 \text{ см} \).
9. Теперь найдём меньший катет: \( a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \text{ см} \).

Ответ: Гипотенуза равна 48 см, меньший катет равен 24 см.