Задание 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображен равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.

Решение:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины прямого угла, является также медианой и высотой. Она делит прямой угол (90°) на два угла по 45°.

Если принять длину катета равной 'a', то гипотенуза равна \(a\sqrt{2}\). Биссектриса делит гипотенузу пополам, но в данном случае она выходит из вершины прямого угла.

Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисой, одним из катетов и частью гипотенузы. Используем теорему косинусов или тригонометрию.

В данном случае, катеты равны 3 клеткам. Биссектриса делит прямой угол пополам. Пусть длина биссектрисы равна 'l'. Используем формулу биссектрисы:

\(l = \frac{2ab \cos(\frac{\gamma}{2})}{a+b}\)

Где \(a=3, b=3, \gamma=90°\), следовательно \(\frac{\gamma}{2}=45°\). \(\cos(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

\(l = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{3+3} = \frac{18 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{6} = \frac{9\sqrt{2}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \approx 2.12\)

Приблизительно 2.12 клетки.

Ответ: \(\frac{3\sqrt{2}}{2}\)