Задание 4 #91731 2 балла а) Решите уравнение 2 cos²x + √2 sin(x + π) − 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение:

1. а) Решение уравнения:
   • Используем тригонометрическое тождество sin(x + π) = -sin(x).
   • 2cos²(x) + √2(-sin(x)) − 2 = 0
   • 2cos²(x) - √2sin(x) - 2 = 0
   • Используем основное тригонометрическое тождество cos²(x) = 1 - sin²(x):
   • 2(1 - sin²(x)) - √2sin(x) - 2 = 0
   • 2 - 2sin²(x) - √2sin(x) - 2 = 0
   • -2sin²(x) - √2sin(x) = 0
   • 2sin²(x) + √2sin(x) = 0
   • sin(x)(2sin(x) + √2) = 0
   • Следовательно, sin(x) = 0 или 2sin(x) + √2 = 0.
   • Из sin(x) = 0 следует x = πn, где n ∈ Z.
   • Из 2sin(x) + √2 = 0 следует sin(x) = -√2/2.
   • Это дает x = -π/4 + 2πk или x = 5π/4 + 2πk, где k ∈ Z.
2. б) Выбор корней, принадлежащих отрезку [3π/2; 3π]:
   • Рассмотрим корни x = πn:
   • Если n = 2, x = 2π (не входит в отрезок).
   • Если n = 3, x = 3π (входит в отрезок).
   • Рассмотрим корни x = -π/4 + 2πk:
   • Если k = 1, x = -π/4 + 2π = 7π/4 (не входит в отрезок).
   • Если k = 2, x = -π/4 + 4π = 15π/4 (не входит в отрезок).
   • Рассмотрим корни x = 5π/4 + 2πk:
   • Если k = 1, x = 5π/4 + 2π = 13π/4 (входит в отрезок, так как 13π/4 = 3.25π, что больше 3π/2 и меньше 3π).

Ответ: а) x = πn, x = -π/4 + 2πk, x = 5π/4 + 2πk, где n, k ∈ Z. б) 3π, 13π/4.