Задание 2 #55519 2 балла а) Решите уравнение sin 2x – 2 sinx + 2 cos x − 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Решение:

1. а) Решение уравнения:
   • Используем формулу синуса двойного угла: 2sin(x)cos(x) − 2sin(x) + 2cos(x) − 2 = 0
   • Сгруппируем члены: 2sin(x)(cos(x) − 1) + 2(cos(x) − 1) = 0
   • Вынесем общий множитель (cos(x) − 1): (2sin(x) + 2)(cos(x) − 1) = 0
   • Следовательно, 2sin(x) + 2 = 0 или cos(x) − 1 = 0.
   • Из 2sin(x) + 2 = 0 следует sin(x) = -1.
   • Это дает x = -π/2 + 2πk, где k ∈ Z.
   • Из cos(x) − 1 = 0 следует cos(x) = 1.
   • Это дает x = 2πn, где n ∈ Z.
2. б) Выбор корней, принадлежащих отрезку [3π; 9π/2]:
   • Рассмотрим корни x = -π/2 + 2πk:
   • Если k = 2, x = -π/2 + 4π = 7π/2 (входит в отрезок, так как 7π/2 = 3.5π, что больше 3π и меньше 9π/2 = 4.5π).
   • Если k = 3, x = -π/2 + 6π = 11π/2 (не входит в отрезок).
   • Рассмотрим корни x = 2πn:
   • Если n = 2, x = 4π (входит в отрезок).
   • Если n = 3, x = 6π (не входит в отрезок).

Ответ: а) x = -π/2 + 2πk, x = 2πn, где k, n ∈ Z. б) 7π/2, 4π.